يرتفع خط الرسم البياني بانتظام خلال تغيير الحالة , تعريف الخط المستقيم

يرتفع الخط الرسمى البيانى بانتظام اثناء تغيير الحالة نعم و الله يرتفع و يقول حسابهم تغيير النظام بتاع الحاجة او جميع النظام يبتدى يقول ذلك الرسم

 

 

تعريف الخط المستقيم


يمكن تعريف الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line) بأنة عباره عن شكل هندسى مستقيم تماما و غير منحن، و ليس له سمك، و له بعد و احد فقط، و ممكن ان يمتد فاي من الاتجاهات الي المالانهاية،[١] و يتميز بأن له ميل ثابت،[٢] و تجدر الإشاره بأن الخط المستقيم يمثل دائما اقصر مسافه بين اي نقطتين،[٣] و هنالك عده نوعيات من الخطوط، و هذا كما يلي:[١]

الخطوط العمودية: (بالإنجليزية: Vertical Straight Lines) هى الخطوط التي تمتد بشكل عمودى اما للأعلى، او للأسفل.


الخطوط الأفقية: (بالإنجليزية: Horizontal Straight Lines) هى الخطوط التي تمتد بشكل افقى اما لليسار، او لليمين.


الخطوط المتوازية: (بالإنجليزية: Parallel Straight Lines) هى الخطوط التي تبتعد عن بعضها البعض نفس المسافه عند كل النقاط، و يصبح لها نفس الميل، و لا ممكن ان تتقاطع ابدا.


الخطوط المتعامدة: (بالإنجليزية: Perpendicular Straight Lines) هى الخطوط التي تتقاطع مع بعضها البعض بشكل عمودي، و ينتج عن ذلك التقاطع اربع زوايا قائمة.


الخطوط المائلة: (بالإنجليزية: Slanted Straight Lines) و هى التي تصنع زاويه غير قائمه مع الخط الأفقى تماما.

خصائص الخط المستقيم


هنالك عده خصائص للخط المستقيم، و منها:[٤]

لة بعد و احد فقط.


يمكن ان يصبح افقيا، او عموديا، او قطريا؛ اي ما ئلا.


جميع الزوايا التي تقع علي الخط المستقيم مجموعها 180 درجة.


يمكن لأطراف اي خط مستقيم ان تمتد الي المالانهايه من الاتجاهين؛ و فالرياضيات و الهندسه يتم التعامل عاده مع اجزاء من الخطوط المستقيمة، و هي:


القطعه المستقيمة: و هى تشكل جزءا محددا له بدايه و نهايه من الخط المستقيم اللانهائي.


الأشعه المستقيمة: و هى عباره عن قطعه مستقيمه تبدا من نقطه محدده علي الخط المسقيم بعدها تمتد الي المالانهاية.


تكون الخطوط المستقيمه متوازيه فالحالتين الآتيتين:[٥]

الحاله الأولى: خطان مستقيمان معادله الأول: ص = اس + ب، و معادله الثاني: ص = دس + جـ، فإذا كانت قيمه ا = د يصبح الخطان متوازيين؛ فالخطوط المتوازيه تكون متساويه فالميل.


الحاله الثانية: خطان مستقيمان معادله الأول: ص = اس + ب ص + جـ، و معادله الثاني ص = د س + ل ص + ع، فإذا كانت قيمه (أ/ د) = قيمه (ب/ ل) يصبح الخطان متوازيين.


تكون الخطوط المستقيمه متعامده فالحالتين الآتيتين:


الحاله الأولى: خطان مستقيمان معادله الأول: ص = اس+ب، و معادله الثاني: ص = دس+جـ، فإذا كانت قيمه ا×د= -1؛ يصبح الخطان متعامدين.


الحاله الثانية: خطان مستقيمان معادله الأول: ص = اس+ب ص+جـ، و معادله الثاني: ص = د س+ل ص+ع، فإذا كانت قيمه (أ×د) + (ب×ل)=0 يصبح الخطان متعامدين.

رسم و تسميه الخط المستقيم


يمكن تسميه الخط المستقيم عن طريق تسميه ايه نقطتين و اقعتين عليه؛ بحيث تكون النقطه الأولي فبدايه الخط المستقيم، و النقطه الثانيه فنهايته، و تكون التسميه من اليمين الي اليسار فالعربية، و من اليسار لليمين بالإنجليزية؛ فمثلا ممكن تسميه المستقيم بالمستقيم (ا ب)، او المستقيم (جـ د)، او ايه تسميه اخرى، و لرسم اي خط مستقيم فإننا نحتاج الي اتباع الخطوات البسيطه الآتية:[٤]

رسم نقطتين علي الورقه مع ترك مسافه فاصله بينهما.


استعمال القلم و المسطره لرسم خط مستقيم يصل بينهما.


مد الخط باستقامه من النقطتين و رسم سهمين علي نهايتيه.

معادله الخط المستقيم


تعرف معادله الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line Equation) بالمعادله الخطية، و تعتبر من المعادلات الرياضيه الأساسيه التي تستعمل بشكل كبير سواء فعلم الرياضيات، او العلوم الأخرى؛ ففى علم الرياضيات يتم عاده تحويل المعادلات الرياضيه غير الخطيه التي يصعب فهمها الي معادلات خطيه حتي يكون من السهل فهمها، و التعامل معها،[٢] و تصف المعادله الخطيه بشكل عام العلاقه بين المتغيرين س، و ص؛ بحيث ينطبق هذا علي كل النقاط الواقعه علي الخط المستقيم، و الصوره العامه لها هي:[٦]

أس+ب ص+جـ = 0، حيث ان: ا، ب، جـ هى قيم ثابتة.

أشكال معادله الخط المستقيم


هنالك عده اشكال لمعادله الخط المستقيم بيانها علي النحو الآتي:[٥]

المعادله التي تمثل العلاقه بين الميل، و الإحداثى الصادي، و هي:


ص = م س+ب، حيث:


م: هو ميل الخط المستقيم، و يساوى ظاα؛ حيث α: هى الزاويه المحصوره بين الخط المستقيم، و محور السينات الموجب.


ب: هو المقطع الصادى و هو قيمه ص عندما س تساوى صفر، اي عندما يقطع الخط المستقيم محور الصادات.


معادله الخط المستقيم الموازى لمحور السينات: هو الخط المستقيم الذي يصبح افقيا بحيث يقطع محور الصادات، و يوازى محور السينات و لا يقطعة ابدا، و معادلتة هي:


ص = ب؛ حيث:


ب: هى النقطه التي يقطع عندها المستقيم محور الصادات.


معادله الخط المستقيم الموازى لمحور الصادات: هو الخط المستقيم الذي يصبح عموديا بحيث يقطع محور السينات، و يوازى محور الصادات و لا يقطعة ابدا، و معادلتة هي:


س = ا؛ حيث:


ا هى النقطه التي يقطع عندها الخط المستقيم محور السينات.


معادله الخط المستقيم المار بنقطه الأصل: معادله الخط المستقيم هي: ص= م س+ب كما ذكر سابقا؛ و عند مرور الخط المستقيم بنقطه الأصل فإن قيمه ب تكون مساويه لصفر؛ لأن الخط المستقيم لا يقطع محور الصادات ابدا، و بالتالي فإن معادله الخط المستقيم المار بنقطه الأصل هي:[٢]

ص =م س؛ حيث:


م: هو ميل الخط المستقيم، و كلما كانت قيمه الميل اكبر فإن الخط المستقيم يصبح اقرب الي محور الصادات، و كلما كانت اقل فإنة يصبح اقرب الي محور السينات.


مثال: مستقيم ما ر بنقطه الأصل و معادلتة ص= 4س؛ فهذا يعنى ان قيمه ص تساوى اربعه اضعاف قيمه س، فمثلا اذا كانت قيمه س= 3، فإن قيمه ص= 4×3= 12، و بالتالي فإن النقطه (12،3) تقع عليه، و الأمر نفسة ينطبق علي كل النقاط الواقعه عليه، و ميل ذلك المستقيم هو 4.

لمزيد من المعلومات حول معادله الخط المستقيم يمكنك قراءه الموضوع الآتي: ما هى معادله الخط المستقيم.

كتابه معادله الخط المستقيم


يمكن كتابه معادله الخط المستقيم بعده طرق بناء علي المعلومات المعطاه عن الخط المستقيم، و هذا كما يلي:

معادله الخط المستقيم الذي يعرف ميله، و نقطه و اقعه عليه:


ص = ص1+ م×(س-س1)، حيث:[٥]

م: هو ميل الخط المستقيم


(س1، ص1): هى نقطه تقع علي الخط المستقيم.


معادله الخط المستقيم المار بنقطتين، و هي:


(ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، حيث:[٧]

(س1، ص1)، و (س2، ص2) هما نقطتان تقعان علي الخط المستقيم المراد ايجاد ميله.


وقد تم اشتقاق المعادله السابقه من معادله الخط المستقيم الذي يعرف ميله، و نقطه و اقعه عليه، و هذا كما يلي:[٧]

ص-ص1 = م×(س – س1)، و بما ان الميل (م) = ص2 – ص1/س2 – س1، و بتعويض هذة القيمه للميل فالمعادلة، ينتج ان:


ص-ص1 = [(ص2-ص1) / (س2-س1)] × (س-س1)، و بترتيب المعادله ينتج ان:


(ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)

مثال: ما هى معادله الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (1، -2)، و (-3، 0)؟[٧]

الحل:


معادله الخط المستقيم: (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، و بالتعويض فهذة المعادله فإن:


(ص-(-2)) / (0-(-2)) = (س-1) / (-3-1)، و منه: (ص+2)/2 = (س-1) /-4، و بضرب الطرفين بـ (2) ينتج ان: ص+2 = (س-1)/-2، و بضرب الطرفين بـ (-2) ينتج ان:


-2ص-4 = س-1، و بجمع (4) للطرفين: -2ص = س+3، و بقسمه المعادله علي (-2) ينتج ان معادله الخط المستقيم:


ص = -(1/2)س – (3/2).

ميل الخط المستقيم


يمكن ايجاد ميل الخط المستقيم باستعمال العلاقه الآتية:

ميل الخط المستقيم = ظاα = (ص2-ص1) / (س2-س1)، و يلاحظ من هذة العلاقه انه لحساب الميل يجب معرفه احد ما يلي:


نقطتان تقعان علي الخط المستقيم؛ بحيث تمثل النقطه الأولي (س1، ص1)، و النقطه الثانيه (س2، ص2)، او:[٥]

الزاويه α، و هى الزاويه المحصوره بين الخط المستقيم و محور السينات.


ملاحظة: اذا كان الميل موجبا فإن الخط المستقيم يصبح متزايدا اي يرتفع الي الأعلي بالتوجة من اليسار لليمين، و إذا كانت قيمه الميل سالبه فإن الخط المستقيم يصبح متناقصا اي ينخفض نحو الأسفل بالتوجة من اليسار لليمين.[٨]

ما هو ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2،2)، (-3، -2)؟[٨]

يمكن افتراض اي من النقطتين لتكون (س1، ص1)، و النقطه الأخري لتكون (س2، ص2)؛ فمثلا ممكن افتراض ان: (س1، ص1) هى (-3، -2)، و (س2، ص2) هى (2،2)، و منه:


الميل = (ص2-ص1) / (س2-س1)= (2-(-2)) / (2-(-3)) = (2+2) / (2+3) = 5/4.

لمزيد من المعلومات حول ميل الخط المستقيم يمكنك قراءه الموضوع الآتي: قانون ميل الخط المستقيم.

قوانين الخط المستقيم


هنالك الكثير من القوانين المتعلقه بالخط المستقيم، و منها:

حساب بعد نقطه عن الخط المستقيم: ممكن ايجاد بعد النقطه (س1، ص1) عن المستقيم الذي معادلتة اس+ ب ص+جـ= 0 باستعمال العلاقه الآتية:[٥]

بعد نقطه عن الخط المستقيم = |أ×س1 + ب×ص1 + جـ| / (أ²+ب²)√، و تجدر الإشاره الي ان ذلك الرمز | | يعنى قيمه مطلقة، و هذا لأنة لا ممكن للمسافه ان تكون سالبة.


حساب الزاويه المحصوره بين خطين مستقيمين: ممكن حساب الزاويه المحصوره (ي) بين اي مستقيمين اذا كانت معادله الأول: اس+ب ص+جـ = 0، و معادله الثاني: دس+ل ص+ع=0 باستعمال احد القوانين الآتية:[٥]

ظا(ي) = (ميل المستقيم الثاني- ميل المستقيم الأول)/ (1+ميل المستقيم الأول×ميل المسقيم الثاني).


جتا(ي) = [(أ×د)+(ب×ل)] / [(أ²+ب²)√×(د²+ل²)√].


تحديد نقطه تقاطع الخطين المستقيمين: ممكن ايجاد نقطه تقاطع المستقيمين (س1، ص1) اذا كانت معادله المستقيم الأول: ص = اس+ ب ص+ جـ، و معادله المستقيم الثاني: ص= د س+ل ص+ع، باستعمال العلاقه الآتية:[٥]

س1 = [(-جـ×ل) + (ع×ب)] / [(أ×ل) – (د×ب)].


ص1= [(-أ×ع) + (د×جـ)] / [(أ×ل) – (د×ب)].


يمكن بدلا من استعمال العلاقه السابقه معرفه نقطه تقاطع المستقيمين من اثناء مساواه المعادلتين ببعضهما، و إيجاد قيمه س، بعدها التعويض فاى من المعادلتين لإيجاد قيمه ص، و المثال الآتى يوضح ذلك:[٩]

مستقيمان معادله الأول ص= 3س-3، و معادله الثاني ص = 2.3س+4، فما هى نقطه تقاطع المستقيمين؟


عند نقطه التقاطع تتساوي قيمه جميع من س، و ص فالمستقيمين، و بالتالي: 3س-3 = 2.3س+4، و بجمع (3) للطرفين، و طرح (2.3س) ينتج ان: 3س-2.3س = 4+3، و منه: 0.7س = 7، و بقسمه الطرفين علي (0.7) ينتج ان: س= 10.


بتعويض قيمه س فاى من المعادلتين فإن: ص= (3×10)-3= 27.


وبالتالي فإن نقطه التقاطع هي: (10، 27).


حساب المسافه بين خطين متوازيين: مستقيمان متوازيان معادله الأول: اس+ب ص+ جـ1=0، و معادله الثاني: اس+ب ص+جـ2=0 ممكن ايجاد البعد بينهما باستعمال العلاقه الآتية:[١٠]

البعد بين المستقيمين المتوازيين = |جـ1- جـ2| / (ب²+أ²)1/2.


ملاحظة: تم اشتقاق هذة العلاقه باستعمال قانون بعد نقطه عن خط مستقيم، حيث تم افتراض و جود نقطه علي احد المستقيمين، و حساب بعدين عن المستقيم الآخر.

أمثله متنوعه حول الخطوط المستقيمة


المثال الأول: ما هو الميل، و المقطع الصادى لكل من المعادلات الآتية: ا) ص = 3س + 2، ب) ص = 5س – 2، جـ) ص = -2س + 4؟[١١]

الحل: بما ان المعادلات جميعها علي صوره ص = م س+ب، فإن الميل هو معامل س، و هو: م، و المقطع الصادى هو ب، و هذا كما يلي:


ص= 3س+2: الميل يساوى 3، و المقطع الصادى 2.


ص= 5س-2: الميل يساوى 5، و المقطع الصادى -2.


ص= -2س+4: الميل يساوى -2، و المقطع الصادى 4.

المثال الثاني: اذا كانت الصوره العامه لمعادله الخط المستقيم ص= م س+ب، فما هى معادله جميع من الخطوط المستقيمه الآتية: ا) خط مستقيم ميلة 5، و مقطعة الصادى 3. ب) خط مستقيم ميلة 3، و يمر بالنقطه (0،0). جـ) خط مستقيم ميلة (1/3)، و يمر بالنقطه (0، 1)؟[١١]

الحل:


أ) ص= 5س+3.


ب) ص= 3س، و هذا لأن معادله الخط المستقيم الذي يمر بنقطه الأصل هى م×س؛ حيث م تمثل الميل.


جـ) ص= (1/3)س+1، و هذا لأن المقطع الصادى هو قيمه ص عندما س تساوى صفر، و بالتالي فإن المقطع الصادى فهذة الحاله 1.

 

يرتفع خط الرسم البيانى بانتظام اثناء تغيير الحاله ,